دنباله فیبوناچی و شماره طلایی

بسیاری از گیاهان Phyllotaxis Fibonacci را نشان می دهند ، که شامل شماره های فیبوناچی و زاویه طلایی است. زاویه طلایی مربوط به میانگین طلایی است ، که خود محدودیتی از تعداد اعداد فیبوناچی است. ما این حقایق را در زیر مرور می کنیم. مدل دینامیکی توضیحی در مورد اینکه چرا فیبوناچی فیلوتاکسیس بسیار غالب است ، ارائه می دهد. برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد شماره های فیبوناچی و میانگین طلایی ، به وب سایت ران نات مراجعه کنید.

phyllotaxis fibonacci

در Phyllotaxis مارپیچی ، تعداد مارپیچ های قابل مشاهده ، به نام parastichies ، اغلب دو عنصر پی در پی دنباله فیبوناچی هستند: 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55. جایی که هر شماره مجموع دو مورد قبلی است. هنگامی که این اتفاق بیفتد ، زاویه بین برگهای پی در پی یا عنصر گیاه شناسی نزدیک به زاویه طلایی است - حدود 137. 5 درجه سانتیگراد ، مربوط به میانگین طلایی.

آئونیوم در سمت راست 3 مارپیچ در یک جهت سیم پیچ می کند ، 2 در جهت دیگر. زاویه بین برگهای 2 و 3 و زاویه بین برگهای 5 و 6 هر دو بسیار نزدیک به 137. 5 درجه سانتیگراد هستند.

بر اساس نظرسنجی از ادبیات شامل 650 گونه و 12500 نمونه ، R. Jean (1994) تخمین زده است که ، در بین گیاهانی که فیلوتاکسی مارپیچی یا چند ژوگرافی را نشان می دهند ، حدود 92 ٪ از آنها فیبوناچی فیبوناچی دارند.

بخش طلایی و میانگین طلایی

یونانیان می دانستند که برای ترسیم پنتاگرام ، باید یک بخش را در بخش طلایی تقسیم کند. بخش طلایی تنها راه تقسیم یک بخش است به طوری که نسبت بخش بزرگ (قرمز در اینجا) نسبت به کوچک (طلا) همان نسبت کل بخش (کامل) نسبت به بزرگ (قرمز) است. این نسبت میانگین طلایی Ø (PHI) است:

بخش طلایی و زاویه طلایی

یکی از زاویه های طلایی ، حدود 137. 51 درجه ، توسط یک بخش طلایی از دور دایره به دست می آورد:

اعداد فیبوناچی و میانگین طلایی

توالی فیبوناچی 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 و غیره توسط رابطه مکرر f داده شده است_n+1= F_n + F_n-1(هر اصطلاح مجموع دو مورد قبلی است) ، با شرایط اولیه f₀= F₁= 1.

میانگین طلایی محدودیتی از تعداد اعداد فیبوناچی پی در پی است:

از نظر فنی: Ø = lim f_n /F_n-1همانطور که n به Infinity می رود (اثبات زیر)

به همین ترتیب ، زاویه طلایی با محدودیت سهم اعداد فیبوناچی که دو آپارت هستند داده می شود:

زاویه طلایی = 360 (2- Ø) = 360 لیم f_n /F_n+2

(اثبات زیر) بنابراین جای تعجب ندارد که تعداد فیبوناچی و زاویه طلایی همزمان در گیاهان بوجود می آیند. اما این توضیحی در مورد دلیل و چگونگی بوجود آمدن آنها نیست. با توجه به فرضیات کلی در مورد مکانیسم تشکیل الگوی ، مدل دینامیکی توضیحی را ارائه می دهد.

- برای به دست آوردن مقدار Ø از تعریف بخش طلایی که در بالا ذکر شد ، کل = x و قرمز = 1 را تنظیم کنید. سپس طلا = x-1 و برابری Ø = کل/قرمز = قرمز/طلا Ø = x = 1/(x-1) می شود ، که از آن x (x-1) = 1 یا x 2-x- به دست می آوریم1 = 0. با استفاده از فرمول درجه دوم ، می توان دریافت که Ø = x = (1+sqrt (5))/2 تنها ریشه مثبت این معادله است.

- برای اثبات این که میانگین طلایی محدودیتی از تعداد اعداد فیبوناچی است ، فرض کنید که lim f_n/F_n-1= ل. ما L = Ø را نشان خواهیم داد. برابری را تقسیم کنید_n+1= F_n + F_n-1توسط f_nبرای گرفتن f_n+1/F_n= 1+f_n-1/F_nبشربا استفاده از حد مجاز به بازده بی نهایت L = 1+1/L یا L 2-L -1 = 0 می رود ، که تنها ریشه مثبت L = Ø دارد. یک اثبات دقیق تر فرض نمی کند که L وجود دارد ، همانطور که ما انجام دادیم ، اما با اثبات برابری (1-) n = f شروع می شود_n+1-F_n*& Oslash با القاء.

- برای نشان دادن آن (2- Ø) = lim f_n/F_n+2، تقسیم را تقسیم کنید_n+1= F_n + F_n-1توسط f_n+1و مانند گذشته ادامه دهید.