محدودیت زمانی برای شکل گیری مثلث

مثلث Sierpinski (همچنین با ارتوگرافی اصلی Sierpiński) ، که همچنین به نام Gasket Sierpinski یا Sierpinski Sieve نیز نامیده می شود ، یک مجموعه ثابت و جذاب با شکل کلی یک مثلث دو طرفه است ، که به صورت بازگشتی به صورت بازگشتی در مثلث های معادل کوچکتر است. در ابتدا به عنوان منحنی ساخته شده است ، این یکی از نمونه های اساسی مجموعه های خودی است ، یعنی این یک الگوی ریاضی است که در هر بزرگنمایی یا کاهش قابل تکرار است. این نام به عنوان ریاضیدان لهستان Wacław Sierpiński نامگذاری شده است ، اما قرن ها قبل از کار Sierpiński به عنوان یک الگوی تزئینی ظاهر می شود.

الگوی تزئینی متناسب با فراکتال اطلاعات موضوعات: دیگران

نام کاربران ثبت شده MDPI مشارکت کننده به صفحات SciProfiles آنها مرتبط خواهد بود. برای ثبت نام در ما ، لطفاً به https://encyclopedia. pub/register مراجعه کنید:

دستگی زمان مشاهده: 1383 مجموعه ورود: Handwiki تجدید نظر: 2 بار (مشاهده تاریخ) تاریخ به روز رسانی: 04 نوامبر 2022 فهرست مطالب

1. ساخت و سازها

روش های مختلفی برای ساخت مثلث Sierpinski وجود دارد.

1. 1حذف مثلث ها

تکامل مثلث Sierpinski. https://handwiki. org/wiki/index. php؟curid=1997282

مثلث Sierpinski ممکن است با حذف مکرر زیر مجموعه های مثلثی از یک مثلث دو طرفه ساخته شود:

1. با یک مثلث دو طرفه شروع کنید.
2. آن را به چهار مثلث متناسب با همبستگی کوچکتر تقسیم کرده و مثلث مرکزی را بردارید.
3. مرحله 2 را با هر یک از مثلث های کوچکتر باقیمانده برای همیشه تکرار کنید.

هر مثلث برداشته شده (یک ترما) از نظر توپولوژیکی یک مجموعه باز است.[1] این فرایند از بین بردن مثلث ها به صورت بازگشتی نمونه ای از یک قانون تقسیم محدود است.

1. 2کوچک شدن و تکثیر

همان دنباله اشکال ، همگرا به مثلث Sierpinski ، می تواند با مراحل زیر ایجاد شود:

1. با هر مثلث در هواپیما شروع کنید (هر منطقه بسته و محدود در هواپیما در واقع کار خواهد کرد). مثلث Canonical Sierpinski از یک مثلث دو طرفه با پایه موازی با محور افقی (تصویر اول) استفاده می کند.
2. مثلث را به ارتفاع 1/2 و عرض 1/2 کوچک کنید ، سه نسخه تهیه کنید و سه مثلث کوچک شده را قرار دهید تا هر مثلث دو مثلث دیگر را در یک گوشه لمس کند (تصویر 2). توجه داشته باشید که ظهور سوراخ مرکزی - از آنجا که سه مثلث کوچک شده بین آنها فقط 3 /4 منطقه اصلی را پوشش می دهد.(سوراخ ها یکی از ویژگی های مهم مثلث Sierpinski هستند.)
3. مرحله 2 را با هر یک از مثلث های کوچکتر (تصویر 3 و غیره) تکرار کنید.

توجه داشته باشید که این فرایند بی نهایت به شکل شروع مثلث بستگی ندارد - از این طریق فقط واضح تر است. چند مرحله اول شروع می شود ، به عنوان مثال ، از یک مربع نیز به سمت مثلث Sierpinski تمایل دارد. مایکل بارنزلی از تصویری از یک ماهی برای نشان دادن این موضوع در مقاله خود "فراکتال های V-متغیر و سوپر اسناد" استفاده کرد.[2]

تکرار از یک مربع. https://handwiki. org/wiki/index. php؟curid=2038399

فراکتال واقعی همان چیزی است که پس از تعداد بی نهایت تکرارها به دست می آید. به طور رسمی ، شخص آن را از نظر توابع در مجموعه های بسته از نقاط توصیف می کند. اگر اجازه دادیم D_Aدر مورد یک عامل 1/2 در مورد یک نقطه A ، اتساع را مشخص کنید ، سپس مثلث Sierpinski با گوشه های A ، B و C مجموعه ثابت از تحول D است_A∪ D_B∪ D_C.

این یک مجموعه ثابت جذاب است ، به طوری که وقتی این عمل به هر مجموعه دیگری بارها و بارها اعمال می شود ، تصاویر روی مثلث Sierpinski همگرا می شوند. این همان چیزی است که با مثلث فوق اتفاق می افتد ، اما هر مجموعه دیگری کافی است.

1. 3بازی هرج و مرج

اگر کسی یک نقطه را بگیرد و هر یک از تحولات D را اعمال کند_A، د_B، و د_Cبه طور تصادفی ، نقاط حاصل در مثلث Sierpinski متراکم خواهد بود ، بنابراین الگوریتم زیر دوباره تقریب های نزدیک خودسرانه را به آن ایجاد می کند: [3]

با برچسب زدن P شروع کنید₁، پ₂و ص₃به عنوان گوشه های مثلث Sierpinski ، و یک نقطه تصادفی V₁بشرتنظیم V_{n +1}= 1/2 (v_حرف+ p _rn ) ، جایی که r_nشماره تصادفی شماره 1 ، 2 یا 3 است. نقاط V را ترسیم کنید₁به v_∞بشراگر اولین نقطه v₁نکته ای در مثلث Sierpiński بود ، سپس همه امتیازات V_حرفروی مثلث سیرپینسکی دراز بکشید. اگر اولین نقطه v₁دراز کشیدن در محیط مثلث نقطه ای از مثلث Sierpinski نیست ، هیچ یک از امتیازات V_حرفروی مثلث Sierpinski قرار خواهد گرفت ، اما آنها روی مثلث همگرا خواهند شد. اگر v₁خارج از مثلث است ، تنها راه V_حرفروی مثلث واقعی فرود خواهد آمد ، اگر V باشد_حرفاگر مثلث بی نهایت بزرگ باشد ، بخشی از مثلث است.

ساخت و ساز متحرک مثلث Sierpinski. https://handwiki. org/wiki/index. php؟curid=1891558

یک مثلث Sierpinski توسط یک درخت فراکتال با سه شاخه که زاویه 60 درجه بین یکدیگر تشکیل می دهند ، ترسیم می شود. اگر زاویه کاهش یابد ، مثلث می تواند به طور مداوم به یک فراکتال شبیه درخت تبدیل شود.

1. برای تشکیل مثلث سه امتیاز در هواپیما کسب کنید ، نیازی به ترسیم آن نیست.
2. به طور تصادفی هر نقطه ای را در داخل مثلث انتخاب کنید و در نظر بگیرید که موقعیت فعلی خود را.
3. به طور تصادفی هر یک از سه نقطه راس را انتخاب کنید.
4. نیمی از فاصله را از موقعیت فعلی خود به راس انتخاب شده منتقل کنید.
5. موقعیت فعلی را ترسیم کنید.
6. از مرحله 3 تکرار کنید.

این روش همچنین بازی هرج و مرج نامیده می شود و نمونه ای از یک سیستم عملکرد تکرار شده است. شما می توانید از هر نقطه در خارج یا داخل مثلث شروع کنید ، و در نهایت با چند نقطه باقی مانده ، واشر Sierpinski را تشکیل می دهد (اگر نقطه شروع در طرح مثلث قرار داشته باشد ، هیچ نقطه باقی مانده وجود ندارد). با داشتن مداد و کاغذ ، طرح خلاصه ای پس از قرار دادن تقریباً صد امتیاز شکل می گیرد و جزئیات بعد از چند صد ظاهر می شود. نسخه تعاملی از بازی هرج و مرج را می توان در اینجا یافت.

مثلث Sierpinski با استفاده از یک سیستم عملکرد تکرار شده. https://handwiki. org/wiki/index. php؟curid=1749700

1. 4منحنی فلش

ساخت منحنی Arrowhead Sierpiński. https://handwiki. org/wiki/index. php؟curid=1194349

ساخت و ساز دیگر برای مثلث Sierpinski نشان می دهد که می توان آن را به عنوان منحنی در هواپیما ساخته کرد. این با فرآیند اصلاح مکرر منحنی های ساده تر ، مشابه با ساخت برف کچ ، شکل می گیرد:

1. با یک بخش واحد در هواپیما شروع کنید
2. به طور مکرر هر بخش خط منحنی را با سه بخش کوتاه تر جایگزین کنید ، در هر محل اتصال بین دو بخش متوالی ، زاویه 120 درجه تشکیل می دهد ، با اولین و آخرین بخش منحنی یا به موازات بخش خط اصلی یا زاویه 60 درجه با آن تشکیل می شود.

منحنی فراکتال حاصل ، منحنی پیکان Sierpiński نامیده می شود و شکل محدود آن مثلث Sierpinski است.[4] در واقع هدف مقاله اصلی Sierpinski در سال 1915 ، نشان دادن نمونه ای از منحنی (منحنی کانتوریایی) بود ، همانطور که عنوان مقاله خود اعلام می کند.[5] [6]

1. 5اتومبیل های سلولی

مثلث Sierpinski همچنین در برخی از اتومات های سلولی (مانند قانون 90) ، از جمله موارد مربوط به بازی زندگی Conway ظاهر می شود. به عنوان مثال ، اتوماتیک سلولی مانند زندگی B1/S12 هنگام استفاده از یک سلول واحد ، چهار تقریب مثلث Sierpinski ایجاد می کند.[7] یک خط ضخیم یک سلول بسیار طولانی در زندگی استاندارد ، دو مثلث آینه ای Sierpinski ایجاد می کند. نمودار زمان فضا از یک الگوی تکرار کننده در یک اتوماتیک سلولی نیز اغلب شبیه مثلث Sierpinski است ، مانند مدل تکرار کننده مشترک در زندگی.[8]

1. 6مثلث پاسکال

تقریب سطح 5 به یک مثلث سیرپینسکی که با سایه زدن به سطح 2 5 (32) اول مثلث پاسکال به دست می آید اگر ضریب دوتایی یکنواخت باشد و در غیر این صورت سیاه باشد. https://handwiki. org/wiki/index. php؟curid=2089410

اگر کسی مثلث پاسکال را با 2 ردیف 2 نیتور بگیرد و اعداد را به رنگ سفید رنگ کند ، و اعداد عجیب و غریب سیاه ، نتیجه تقریب مثلث Sierpinski است. به طور دقیق تر ، محدودیت با نزدیک شدن به بی نهایت این مثلث پاسکال 2 N-N -Row مثلث Sierpinski است.[9]

1. 7برجهای هانوی

برج های پازل هانوی شامل جابجایی دیسک های مختلف بین سه گیره است ، و این ویژگی را حفظ می کند که هیچ دیسک ای در بالای دیسک کوچکتر قرار نمی گیرد. حالت های یک پازل N-disk ، و حرکت مجاز از یک حالت به حالت دیگر ، یک نمودار بدون کارگردانی ، نمودار هانوی را تشکیل می دهد ، که می تواند از نظر هندسی به عنوان نمودار تقاطع مجموعه مثلث های باقی مانده پس از مرحله n در مرحله N در این مرحله نشان داده شود. ساخت مثلث سیرپینسکی. بنابراین ، در حد مجاز N به بی نهایت ، این دنباله نمودارها را می توان به عنوان یک آنالوگ گسسته مثلث Sierpinski تفسیر کرد.[10]

2. خواص

برای تعداد عدد صحیح ابعاد d ، هنگامی که یک طرف یک شیء را دو برابر می کنید ، 2 نسخه از آن ایجاد می شود ، یعنی 2 نسخه برای شیء 1 بعدی ، 4 نسخه برای شی 2 بعدی و 8 نسخه برای شی 3 بعدی. برای مثلث Sierpinski ، دو برابر شدن سمت آن 3 نسخه از خودش ایجاد می کند. بنابراین مثلث Sierpinski دارای ورود ابعاد Hausdorff (3) /_{ورود به سیستم (2)}= ورود به سیستم₂3 ≈ 1. 585 ، که از حل 2 d = 3 برای d است.[11]

مساحت مثلث Sierpinski صفر است (در اندازه گیری Lebesgue). منطقه باقی مانده پس از هر تکرار به وضوح 3 /4 منطقه از تکرار قبلی است و تعداد نامتناهی تکرار منجر به صفر می شود.[12]

3. تعمیم در سایر ماژول ها

در صورت استفاده از یک ماژول متفاوت ، می توان با استفاده از مثلث Pascal ، از مثلث Sierpinski نیز استفاده کرد. تکرار N با گرفتن مثلث Pascal با ردیف های P N و شماره های رنگ آمیزی توسط مقدار آنها برای X Mod P ایجاد می شود. با نزدیک شدن N به بی نهایت ، یک فراکتال تولید می شود.

همان فراکتال را می توان با تقسیم مثلث به یک مثلث P 2 و از بین بردن مثلث هایی که از اصل وارونه هستند ، بدست آورید و سپس با هر مثلث کوچکتر این مرحله را تکرار کنید.

برعکس ، فراکتال نیز می تواند با شروع با یک مثلث و کپی کردن آن و تنظیم n (n + 1) / 2 از چهره های جدید در همان جهت گیری به یک مثلث مشابه بزرگتر با راس های ارقام قبلی لمس شود ، سپس تکرار شود. آن مرحله[14]

4- آنالوگ ها در ابعاد بالاتر

یک هرم مبتنی بر مثلث Sierpiński همانطور که از بالا مشاهده می شود (4 بخش اصلی برجسته شده است). توجه خود را در این نمای پیش بینی شده 2 بعدی توجه کنید ، به طوری که مثلث حاصل می تواند یک فراکتال 2D باشد.

Tetrahedron یا Tetrix Sierpinski یک آنالوگ سه بعدی مثلث Sierpinski است که با کوچک کردن مکرر یک چهار ضلعی معمولی به نیمی از ارتفاع اصلی خود تشکیل می شود و چهار نسخه از این چهار ضلعی را با گوشه های لمس قرار می دهد و سپس روند را تکرار می کند. این کار همچنین می تواند با یک هرم مربع و به جای آن پنج نسخه انجام شود.

یک تتریک ساخته شده از یک چهار ضلعی اولیه از طول L L دارای این خاصیت است که سطح کل سطح با هر تکرار ثابت است. سطح اولیه (تکرا ر-0) چهار ضلعی از طول L L 2 √ 3 است. تکرار بعدی از چهار نسخه با طول جانبی L /2 تشکیل شده است ، بنابراین مساحت کل 4 (L /2) 2 √3 = 4 L 2 √3 /4 = L 2 √3 دوباره است. در همین حال ، حجم ساخت و ساز در هر مرحله نصف می شود و بنابراین به صفر نزدیک می شود. حد این فرآیند نه حجم دارد و نه سطح ، اما مانند واشر Sierpinski ، یک منحنی پیچیده است. ابعاد Hausdorff آن log (4)/ log (2) = 2. است. اگر همه نقاط بر روی هواپیما پیش بینی شده باشند که به موازات دو لبه بیرونی باشد ، آنها دقیقاً یک مربع از طول جانبی L/ √2 را بدون همپوشانی پر می کنند.

انیمیشن یک تتریک سطح چرخ ش-4 نشان می دهد که چگونه برخی از پیش بینی های ارتوگرافی یک تتریکس می توانند یک هواپیما را پر کنند-در این SVG تعاملی ، به سمت چپ و راست روی تتریکس حرکت می کند تا مدل 3D را بچرخاند

4. 1تولید عددی

یک کد کوتاه در زبان داخلی Mathematica: روش بازگشتی Sipyramid یک هرم سه بعدی از سفارش دلخواه N را به عنوان گرافیک گرافیکی قابل نمایش 3D تولید می کند:

vect[1] = ; vect[2] = ; vect[3] = ; vect[4] = ; Tetron[] := Tetrahedron[, vect[2] + , vect[3] + , vect[4] +>] ؛sipyramid [0 ،]: =; SiPyramid[n_, ] := Module[>، do [S = Union [S ، sipyramid [n - 1 ، 2^(n - 1)*vect [u] +]] ،] ؛s] ؛

5. تاریخ

Wacław Sierpiński مثلث Sierpinski را در سال 1915 توصیف کرد. با این حال ، الگوهای مشابه در موزائیک های کیهانی قرن سیزدهم در کلیسای جامع آناگنی ، ایتالیا ، [15] و سایر مناطق ایتالیا ، برای فرش در بسیاری از مناطق مانند شبستان ظاهر می شود. ریحان رومی سانتا ماریا در Cosmedin ، [16] و برای مثلث های جدا شده در روتا در چندین کلیسا و باسیلیکا قرار گرفته است.[6] [17] در مورد مثلث جدا شده ، تکرار حداقل از سه سطح است.

یک مثلث قرون وسطایی ، با قدمت تاریخی مشخص [6] اخیراً مورد مطالعه قرار گرفته است. این در پورفیری و برگ طلایی است ، جدا شده و تکرار سطح 4

واشر آپولونیایی برای اولین بار توسط آپولونیوس از پرگا (قرن سوم قبل از میلاد) توصیف شد و بیشتر توسط گوتفرید لایبنییز (قرن 17) مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و یک پیشرو خمیده مثلث سیرپایسکی قرن بیستم است.[18]

6. اخلاق شناسی

استفاده از کلمه "واشر" برای اشاره به مثلث Sierpinski به واشرهایی مانند آنچه در موتورها یافت می شود ، اشاره دارد و گاهی اوقات دارای یک سری سوراخ هایی با اندازه کاهش دهنده ، شبیه به فراکتال است. این استفاده توسط بنوتی ماندلبروت ، که فکر می کردند فراکتال شبیه به "بخشی است که از نشت در موتورها جلوگیری می کند" ابداع شده است.[19]

منابع

1. "Gasket Sierpinski by Trema"
2. Michael Basley ، Fractals V-Variable و Superfractals ، http://www. maths. anu. edu. au/~Basley/PDFS/V-VAR_SUPER_FRACTALS. PDF
3. فلدمن ، دیوید پی (2012) ، "17. 4 بازی هرج و مرج" ، هرج و مرج و فراکتال: یک مقدمه ابتدایی ، انتشارات دانشگاه آکسفورد ، صص 178-180 ، ISBN 9780199566440 ، https://books. google. com/books؟id= exnwm_zhk0mc & pg = pa178.
4. Prusinkiewicz ، P. (1986) ، "برنامه های گرافیکی سیستم های L" ، مجموعه مقالات رابط گرافیکی '86/رابط بینایی '86 ، صص 247 253 ، https://blog. itu. dk/mpgg-e2012/files/2012/09/graphicalgi86. pdf.
5. Sierpinski ، Waclaw (1915)."sur une courbe dont tout point est un point de ramification". COMPTRENDACADعلمیپاریس 160: 302-305.
6. برونی ، پائولا ؛مگرون ، پائولا ؛لالی ، لورا تدشینی (2018-07-07) ، "مثلث امپریال پورفیری و برگ طلایی: مثلث Sierpinski در یک مخفی رومی قرون وسطایی" (در EN) ، پیشرفت در سیستم های هوشمند و محاسبات (انتشارات بین المللی Springer): صص 595-609 ،. doi: 10. 1007/978-3-319-95588-9_49 ، ISBN 978331995872 ، https://link. springer. com/chapter/10. 1007/978-3-319-95588-9588-9_49 ، Redrieved 2018-09-1ved
7. Rumpf ، Thomas (2010) ، "بازی زندگی Conway با شتاب با OpenCL" ، مجموعه مقالات یازدهمین کنفرانس بین المللی محاسبات غشایی (CMC 11) ، صص 459-462 ، http://cmc11. uni-jena. de/provestings/rumpf. pdf.
8. Bilotta ، Eleonora ؛Pantano ، Pietro (تابستان 2005) ، "پدیده های الگوی ظهور در اتوماتیک سلولی 2D" ، زندگی مصنوعی 11 (3): 339-362 ، doi: 10. 1162/10645460544407167. https://dx. doi. org/10. 1162٪2F1064546054407167
9. استوارت ، ایان (2006) ، نحوه برش کیک: و سایر معضلات ریاضی ، انتشارات دانشگاه آکسفورد ، ص. 145 ، ISBN 9780191500718 ، https://books. google. com/books؟id=theofrmeg0oc& pg=pt145.
10. رومیک ، دن (2006) ، "کوتاهترین مسیرها در برج هانوی نمودار و اتومات های محدود" ، مجله سیام در ریاضیات گسسته 20 (3): 610-62 ، doi: 10. 1137/050628660. https://dx. doi. org/10. 1137٪2F050628660
11. Falconer ، کنت (1990). هندسه فراکتال: مبانی ریاضی و برنامه ها. شیچستر: جان ویلی. پ. 120. ISBN 0-471-92287-0.
12. هلمبرگ ، گیلبرت (2007) ، آشنایی با فراکتال ها ، والتر د گرویر ، ص. 41 ، ISBN 9783110190922 ، https://books. google. com/books؟id=pbrlyo83oq8c& pg=pa41.
13. http://www. cut-the-knot. org/ctk/sierpinski. shtml
14. شانون و بردزل ، کاتلین و مایکل ، الگوهای مثلث پاسکال - با پیچ و تاب - پیچ اول: انجمن ریاضی آمریکا ، http://www. maa. org/publications/periodicals/loci/joma/pattes-در پاسكالز-مثلث-با-یک پیچ و تاب-پیچ و تاب و-چه-What-it-it ، برگرفته از 29 مارس 2015
15. Wolfram ، Stephen (2002) ، نوع جدیدی از علم ، Wolfram Media ، صص 43 ، 873
16. "موزائیک کف هندسی (مثلث های سیرپینسکی) ، شبستان سانتا ماریا در کیهان ، انجمن بواریوم ، رم" ، 5 سپتامبر 2011 ، flickr https://www. flickr. com/photos/mymuk/6304896451
17. Conversano ، Elisa ؛Tedeschini-Lalli ، Laura (2011) ، "مثلث های Sierpinski in Stone on Medieval در رم" ، مجله Aplimat از ریاضیات کاربردی 4: 114 ، 122 ، http://www. formulas. it/formulog/wp-content/uploads/uploads/2014/12/sierpinski-aplimat. pdf
18. Mandelbrot B (1983). هندسه فراکتال طبیعت. نیویورک: W. H. Freeman. پ. 170. ISBN 978-0-7167-1186-5. ASTE T ، Weaire D (2008). در جستجوی بسته بندی کامل (چاپ دوم). نیویورک: تیلور و فرانسیس. صص 131-138. ISBN 978-1-4200-6817-7.
19. بنتتو ، جان ؛Wojciech ، Czaja. ادغام و تحلیل مدرن. پ. 408

بیشتر

© متن تحت شرایط و ضوابط مجوز Creative Commons-Attribution Sharealike (CC BY-SA) در دسترس است. شرایط اضافی ممکن است اعمال شود. با استفاده از این سایت ، شما با شرایط و ضوابط و خط مشی رازداری موافقت می کنید.