ماوراء

یک فرآیند تصادفی $ x = (x _ ،<mathcal F>_) $ ، $ t in t subseteq [0 ، infty) $ ، در فضای احتمال $ تعریف شده است ( omega ،<mathcal F>, <mathsf P>) $ با یک خانواده غیر کاهش دهنده $ sigma $- جبر $ (<mathcal F>_) _ $ ، $<mathcal F>_ subeeteq<mathcal F>_ subeeteq<mathcal F>$ ، $ s leq t $ ، به گونه ای که $<mathsf E>|X _ |<infty $, $ X _ $ is $ <mathcal F>_ $- قابل اندازه گیری و

(با احتمال 1). در مورد زمان گسسته $ t = <1 , 2 ,dots >$ ؛در مورد زمان مداوم $ t = [0 ، Infty) $. مفاهیم مرتبط فرآیندهای تصادفی هستند که اگر یک submartingale را تشکیل می دهند ، اگر

یا یک سوپر مارپیچ ، اگر

مثال 1. اگر $ xi _ ، xi _ dots $ دنباله ای از متغیرهای تصادفی مستقل با $ است<mathsf E> xi _ = 0 $ ، سپس $ x = (x _ ،<mathcal F>_) $ ، $ n geq 1 $ ، با $ x _ = xi _ + dots + xi _ $ و $<mathcal F>_ = سیگما <xi _ dots xi _ >$ $ sigma $- جبر تولید شده توسط $ xi _ dots xi _ $ ، یک مارتینگال است.

مثال 2. بگذارید $ y = (y _ ،<mathcal F>_) $ Martingale (Submartingale) ، $ v = (v _ ،<mathcal F>_) $ یک دنباله قابل پیش بینی (یعنی $ v _ $ نه تنها $<mathcal F>_ $- قابل اندازه گیری اما همچنین $<mathcal F>_ 1 $- قابل اندازه گیری ، $ n geq 1 $) ، $<mathcal F>_ = <emptyset , Omega >$ ، و اجازه دهید

$ $ (v cdot y) _ = v _ y _ + sum _2 ^ v _ delta y _ ، delta y _ = y _ - y _ 1.$ $

سپس ، اگر متغیرهای $ (v cdot y) _ $ یکپارچه باشند ، فرآیند تصادفی $ ((v cdot y) _ ،<mathcal F>_) $ Martingale (Submartingale) را تشکیل می دهد. به طور خاص ، اگر $ xi _ ، xi _ dots $ دنباله ای از متغیرهای تصادفی مستقل مربوط به یک طرح Beoulli است

$ $ tag v _ = چپ <x08egin 2 & extrm xi _ = dots = xi _ 1 = 1 ، \ 0 & textrm، \ پایان درست. $ $

سپس $ ((v cdot y) _ ،<mathcal F>_) $ Martingale است. این فرآیند تصادفی یک مدل ریاضی از یک بازی است که در آن یک بازیکن یک واحد سرمایه را برنده می شود اگر $ xi _ = + 1 $ $ و اگر $ xi _ = - 1 $ و $ v _ $ یک واحد سرمایه را از دست بدهد. سهام در بازی $ k $- Th. حس نظری بازی از عملکرد $ v _ $ تعریف شده توسط (2) این است که بازیکن وقتی از دست می دهد ، سهم خود را دو برابر می کند و بازی را در اولین پیروزی خود متوقف می کند. در دنیای قمار چنین سیستمی به عنوان مارتینگال نامیده می شود که منشأ اصطلاح ریاضی "مارتینگاله" را توضیح می دهد.

یکی از واقعیت های اساسی تئوری مارتینگالس این است که ساختار یک Martingale (Submartingale) $ x = (x _ ،<mathcal F>_) $ تحت تغییر تصادفی زمان حفظ می شود. بیانیه دقیق این (به نام قضیه نمونه گیری بهینه) به شرح زیر است: اگر $ tau _ $ و $ tau _ $ دو زمان توقف محدود (به عنوان لحظه مارکوف) هستند ، اگر $<mathsf P> < au _ leq au _ >= 1 $ و اگر

سپس $<mathsf E>( X _> اواسط<mathcal F>_> ) ( geq ) = X _>$ (با احتمال 1) ، کجا

به عنوان یک مورد خاص از این ، هویت والد به شرح زیر است:

از جمله نتایج اساسی تئوری Martingales نابرابری DOOB است: اگر $ x = (x _ ،<mathcal F>_) $ یک subartingale غیر منفی است ،

$ $ TAG |X _ |_

leq |x _ ^ |_

leq frac

1 |X _ |_

, p>1 ، $ $

$ $ TAG |x _ ^ |_

leq frac 1 [1 + |x _ mathop ^ x _ |_

] ، p = 1.$ $

اگر $ x = (x _ ،<mathcal F>_ ) $ is a martingale, then for $ p>1 $ نابرابری های Burkholder (تعمیم نابرابری های Khinchin و Marcinkiewic z-zhegmund برای مبالغ متغیرهای تصادفی مستقل):

$ $ برچسب A _

| sqrt<[ X ] _> |_

leq |X _ |_

leq b _

| sqrt<[ X ] _> |_

, $$

که در آن $ _

$ و $ B _

$ برخی از ثابت های جهانی هستند (بستگی به X $ $ یا $ N $ ندارد) ، که برای آن می توانید استفاده کنید

$ $ [x] _ = sum _1 ^ ( دلتا x _) ^ ، x _ = 0.$ $

با در نظر گرفتن (5) و (7) ، این نتیجه می گیرد

$ $ برچسب A _

| sqrt<[ X ] _> |_

leq |x _ ^ |_

leq widetilde _

| sqrt<[ X ] _> |_

, $$

هنگامی که $ p = 1 $ نابرابری (8) قابل تعمیم است. یعنی ، نابرابری دیویس: ثابت های جهانی $ $ و $ B $ وجود دارد

در اثبات نوع دیگری از قضیه در مورد همگرایی Submartingales با احتمال 1 ، با نابرابری Doob برای انتظار ریاضی $ نقش اساسی ایفا می شود<mathsf E> Beta _ (a ، b) $ از تعداد Upcrossings ، $ beta _ (a ، b) $ ، از فاصله $ [a ، b] $ توسط subsartingale $ x = (x _<mathcal F>_) $ در مراحل $ n $ ؛برای مثال

$$ <mathsf E>|x _ - x _ infty | RightArrow 0 ، n RightArrow Infty.$ $

نتیجه این نتیجه ، قضیه لوی در مورد تداوم انتظارات ریاضی مشروط است: اگر $<mathsf E>| xi |<infty $, then

که در آن $<mathcal F>_ subeeteq<mathcal F>_ subseteq dots $ و $<mathcal F>_ infty = sigma ( cup _<mathcal F>_ ) $.

تعمیم طبیعی یک مارتینگال مفهوم یک مارتینگال محلی است ، یعنی یک فرآیند تصادفی $ x = (x _ ،<mathcal F>_) $ که یک دنباله $ ( tau _) _ $ از زمان توقف محدود $ tau _ uparrow infty $ (با احتمال 1) ، $ m geq 1 $ وجود دارد ، به گونه ای که برای هر $ m GEQ 1 $ فرآیندهای "متوقف شده"

Martingales هستند. در مورد زمان گسسته هر مارتینگال محلی $ x = (x _ ،<mathcal F>_) $ یک تبدیل Martingale است ، یعنی می توان در فرم $ x _ = (v cdot y) _ $ نشان داد ، جایی که $ v $ یک فرآیند قابل پیش بینی است و $ y $ یک مارتینگیل است.

هر subsartingale $ x = (x _ ،<mathcal F>_) $ ، علاوه بر این ، یک تجزیه منحصر به فرد doo b-meyer $ x _ = m _ + a _ $ ، که در آن $ m = (m _ ،<mathcal F>_) $ یک Martingale محلی و $ A = (A _ ،<mathcal F>_) $ یک فرآیند غیر کاهش دهنده قابل پیش بینی است. به طور خاص ، اگر $ m = (m _ ،<mathcal F>_) $ یک مارتینگال یکپارچه مربع است ، سپس مربع آن $ m ^ = (m _ ^ ،<mathcal F>_) $ یک زیرمجموعه است که در آن تجزیه doo b-meyer $ m _ ^ = m _ + langle m rangle _ $ فرآیند $ langle m rangle = ( langle m rangle _ ،<mathcal F>_) $ ویژگی درجه دوم Martingale $ M $ نامیده می شود. برای هر مارتینگال یکپارچه مربع $ m $ و فرآیند قابل پیش بینی $ v = (v _ ،<mathcal F>_) $ به گونه ای که $ int _ ^ v _ ^ d langle m rangle _<infty $( with probability 1), $ t>0 $ ، می توان انتگرال تصادفی را تعریف کرد

$ $ (v cdot m) _ = int محدودیت _<0>^ V _ D M _ ، $ $

که یک مارتینگال محلی است. در مورد فرآیند Wiener $ W = (W _ ،<mathcal F>_) $ ، که یک مارتینگال یکپارچه مربع است ، $ langle m rangle _ = t $ و integral تصادفی $ (v cdot w) _ $ هیچ کس غیر از یکپارچه سازی غیر تصادفی با توجه به فرآیند Wiener نیست.

در مورد زمان مداوم ، نابرابری های Doob ، Burkholder و دیویس هنوز درست هستند (برای فرآیندهای راست و راست و دارای محدودیت های چپ).

منابع

نظرات

زمان توقف همچنین زمان بهینه نامیده می شود ، یا در ادبیات قدیمی تر ، مارکوف تایمز یا لحظه های مارکوف ، به عنوان مثال. لحظه مارکوف. قضیه نمونه گیری بهینه نیز قضیه توقف یا قضیه توقف DOOB نامیده می شود.

مفهوم مارتینگال یکی از مهمترین مفاهیم در تئوری احتمال مدرن است. این در تئوری های فرآیندهای مارکوف و انتگرال های تصادفی اساسی است و در بسیاری از قسمت های تجزیه و تحلیل مفید است (قضیه های همگرایی در نظریه ارگوودیک ، مشتقات و بلند کردن در نظریه اندازه گیری ، نابرابری ها در تئوری انتگرال های مفرد و غیره). به طور کلی می توان Martingales را با مقادیر $ Mathbf C $ ، $ Mathbf r ^ $ ، هیلبرت یا یک فضای Banach تعریف کرد. مارتینگال های با ارزش Banach در مطالعه فضاهای Banach (خاصیت Radon-Nikodým و غیره) استفاده می شود.

منابع

نحوه استناد به این مطلب: Martingale. دائر ycl المعارف ریاضیات. URL: http://encyclopediaofmath. org/index. php؟title=martingale& oldid=49256

این مقاله از مقاله اصلی A. N. Shiryaev (مبدأ) ، که در دائر ycl المعارف ریاضیات ظاهر شد - ISBN 1402006098. به مقاله اصلی مراجعه کنید

برگرفته از "https://encyclopediaofmath. org/index. php؟title=martingale& oldid=49256"

• Tex Auto
• Tex انجام شد
• احتمال و آمار
• نظریه احتمال و فرآیندهای تصادفی
• فرآیندهای تصادفی < Span> J. Neveu ، "Martingales Parameter-Parameter" ، North Holland (1975) (ترجمه شده از فرانسوی) MR0402915 ZBL 0345. 60026